Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中點，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱錐P﹣ABCD體積的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中點， ∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
∴AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴PA⊥AB，∵AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，

設AP=t，則B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，t），
C（2，2，0），E（1，1， ），
=（﹣1，2，0）， =（﹣1，0，t）， =（0，1， ），
設平面BDP的法向量 =（x，y，z），
則 ，取y=1，得 =（2，1， ），
設平面BDE的法向量 =（a，b，c），
則 ，取b=1，得 =（2，1，﹣ ），
∵二面角E﹣BD﹣P大于60°，
∴|cos＜ ＞|= = ＜cos60°= ，
解得 ，
S四邊形ABCD= =5，
∴四棱錐P﹣ABCD體積V= = ∈（ ， ）．
∴四棱錐P﹣ABCD體積的取值范圍是（ ， ）．
【解析】（Ⅰ）推導出AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，再由PA⊥AB，能證明PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出四棱錐P﹣ABCD體積的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．