Question

（2013•徐州三模）已知函數f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函數y=f（x）在其定義域內是單調增函數，求a的取值范圍；
（2）設函數y=f（x）的圖象被點P（2，f（2））分成的兩部分為c₁，c₂（點P除外），該函數圖象在點P處的切線為l，且c₁，c₂分別完全位于直線l的兩側，試求所有滿足條件的a的值．

Answer 1

分析：（1）函數y=f（x）在其定義域內是單調增函數只需要2ax²+x-1≤0對任意的x》0恒成立?2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

成立，利用二次函數的性質可求得a的取值范圍；
（2）依題意可求得f（x）在點x=2處的切線l方程，假設滿足條件的a存在，令g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2]，對a分類討論，利用導數工具研究它的性質，利用g′（x）的單調性即可分析判斷a是否存在．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

(x＞0)，…（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以a≤-

1

8

．…（4分）
（2）因為f′(x)=

1

x

-2ax-1．
所以切線l的方程為y=(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2．
令g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2]，則g（2）=0.g′(x)=

1

x

-2ax+4a-

1

2

=-

2ax2-(4a- 1 2 )x-1

x

．…（6分）
若a=0，則g′(x)=

2-x

2x

，
當x∈（0，2）時，g'（x）＞0；當x∈（2，+∞）時，g'（x）＜0，
所以g（x）≥g（2）=0，c₁，c₂在直線l同側，不合題意；…（8分）
若a≠0，g′(x)=-

2a(x-2)(x+ 1 4a )

x

，
若a=-

1

8

，g′(x)=

( x 2 -1)2

x

≥0，g（x）是單調增函數，
當x∈（2，+∞）時，g（x）＞g（2）=0；當x∈（0，2）時，g（x）＜g（2）=0，符合題意；…（10分）
若a＜-

1

8

，當x∈(-

1

4a

，2)時，g'（x）＜0，g（x）＞g（2）=0，
當x∈（2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）＞g（2）=0，不合題意； …（12分）
若-

1

8

＜a＜0，當x∈(2，-

1

4a

)時，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，
當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，不合題意； …（14分）
若a＞0，當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，
當x∈（2．+∞）時，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，不合題意．
故只有a=-

1

8

符合題意．  …（16分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，著重考查構造函數的思想，函數與方程，分類討論與化歸思想的綜合運用，屬于難題．