Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）若函數在上存在兩個極值點，，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）由題意得出在定義域上恒成立，即，

設，則，由此利用導數求得函數單調性與最值，即可求解；

（2）由（1）知，由函數在上存在兩個極值點，，推導出∴ ，設，則，要證，只需證，構造函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可作出求解.

詳解：（1）∵在上是減函數，

∴在定義域上恒成立，

∴，

設，則，

由，得，由，得，

∴函數在上遞增，在上遞減，

∴，∴.

故實數的取值范圍是.

證明：（2）由（1）知，

∵函數在上存在兩個極值點，，且，

∴，

則，∴，

∴ ，

設，則，

要證，

只需證，只需證，只需證，

構造函數，則，

∴在上遞增，

∴，即，

∴.