Question

【題目】已知點A（1，2），過點P（5，﹣2）的直線與拋物線y2=4x相交于B，C兩點，則△ABC是（ ）
A.直角三角形
B.鈍角三角形
C.銳角三角形
D.不能確定

Answer 1

【答案】A
【解析】解：當BC斜率不存在時，方程為x=5， 代入拋物線方程y2=4x得
B ，C
所以AB斜率是 ，
AC斜率是
所以kABkAC=﹣1，
所以AB與AC垂直，
所以三角形ABC是直角三角形當BC斜率存在時，顯然不能為0，否則與拋物線只有一個公共點，
所以設方程為x﹣5=a（y+2）（a是斜率的倒數），
代入拋物線方程化簡得y2﹣4ay﹣8a﹣20=0 設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），
則y1+y2=4a，y1y2=﹣8a﹣20 x1+x2=（ay1+2a+5）+（ay2+2a+5）=a（y1+y2）+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=（ay1+2a+5）（ay2+2a+5）=4a2+20a+25
因為（y1﹣2）（y2﹣2）=y1y2﹣2（y1+y2）+4=﹣16a﹣16 （x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘積等于﹣1，
即AB垂直于AC．綜上可知，三角形ABC是直角三角形
故選A．
先討論直線BC斜率不存在時，求出B，C的坐標，求出AB、AC斜率，求出kABkAC=﹣1，得到三角形ABC是直角三角形，當BC斜率存在時設出其方程，聯立BC的方程與拋物線的方程，利用韋達定理，表示出AB、AC斜率，求出kABkAC=﹣1，得到三角形ABC是直角三角形．