Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣aex﹣e2x（a∈R，e是自然對數的底數）． （Ⅰ）若f（x）≤0對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若方程x﹣aex=0有兩個不同的實數解x1 ， x2 ， 求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：若f（x）≤0對任意x∈R恒成立 可化為x﹣aex≤e2x對x∈R恒成立，
故a≥ 對x∈R恒成立，
令F（x）= ，
則F′（x）= ；
則當x＜0時，F′（x）＜0，x＞0時，F′（x）＞0；
故F（x）= 在x=0處有最大值F（0）=﹣1；
故a≥﹣1；
（Ⅱ）證明：∵若方程x﹣aex=0有兩個不同的實數解x1 ， x2 ，
結合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，
解得，0＜a＜ ；
則x1=aex1 ， x2=aex2；
則a= 的兩個不同根為x1 ， x2 ，
令g（x）= ，則g′（x）= ，
知g（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
又∵當x∈（﹣∞，0]時，g（x）≤0，
故不妨設x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；
對于任意a1 ， a2∈（0， ），設a1＞a2 ，
若g（m1）=g（m2）=a1 ， g（n1）=g（n2）=a2 ，
其中0＜m1＜1＜m2 ， 0＜n1＜1＜n2 ，
∵g（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；
∴m1＞n1 ， m2＜n2；
∴ ；
故 隨著a的減小而增大，
令 =t，
x1=aex1 ， x2=aex2 ， 可化為x2﹣x1=lnt；t＞1；
則x1= ，x2= ；
則x2+x1= ，
令h（t）= ，
則可證明h（t）在（1，+∞）上單調遞增；
故x2+x1隨著t的增大而增大，即
x2+x1隨著 的增大而增大，
故x2+x1隨著a的減小而增大，
而當a= 時，x2+x1=2；
故x2+x1＞2．
【解析】（Ⅰ）由x﹣aex≤e2x對x∈R恒成立，故a≥ 對x∈R恒成立，令F（x）= ，從而化成最值問題；（Ⅱ）由題意可求出0＜a＜ ；則a= 的兩個不同根為x1 ， x2 ， 做y= 的圖象，利用數形結合證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．