Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）當時，證明: （其中e為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）當時， 的遞增區間為；

當時，的遞增區間為，，遞減區間為；

當時，的遞增區間為，，遞減區間為；

（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的取值范圍，求出函數的單調區間即可.

（2）問題轉化為，令 ，根據函數的單調性證明即可.

（1）由題意，函數的定義域為,

當時，恒成立，故的遞增區間為；

當時，在區間，時，時，

所以的遞增區間為，，遞減區間為；

當時，在區間，時，時，

所以的遞增區間為，，遞減區間為；

綜上所述，當時， 的遞增區間為；

當時，的遞增區間為，，遞減區間為；

當時，的遞增區間為，，遞減區間為；

（2）當時，由,只需證明.

令 ，.

設，則.

當時，，單調遞減;

當時，，單調遞增,

∴當時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.