Question

【題目】設，函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數，若有兩個相異極值點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞增區間是，無單調遞減區間；當時，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導函數，求出函數定義域，分類討論，由確定增區間；

（2）求出，由得極值點滿足，可把化為的函數，由的取值范圍（由函數有兩個極值點得）可得結論．

（1），，

當時，，函數在區間上是增函數；

當時，令，解得，則函數在區間上是減函數，在區間

上是增函數.

綜上得：當時，函數的單調遞增區間是，無單調遞減區間；

當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（2）證明：由題意，，

因為有兩個相異極值點，，（）

所以，是方程的兩個實根，解得，

其中.故

令，其中.

故，在上單調遞減，

，即，

所以.