Question

數列{a_n}中，，n∈N^*．
（I）若，設，求證數列{b_n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用數學歸納法證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知b_n+1=2b_n，，數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列，由此可，所以．
（II）根據題設條件利用數學歸納法進行證明．
解答：解：（I）證明：
∵，
（2分）
∵，∴數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列，（4分）

∴b_n=2ⁿ，即，得，所以．（6分）
（II）證明：（i）當n=2時，∵a₁＞2，
∴，
∴，
∴，不等式成立；（8分）
（ii）假設當n=k（k≥2）時，成立，
那么，當n=k+1時，去證明
∵，
∴a_k+1＞2；
∵，
∴；
∴，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數學歸納法的解題步驟，注意解題的嚴密性．