Question

設數列{a_n}中的前n項和Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
（1）求a₁、a₂；
（2）求{a_n}的通項．

Answer 1

分析：（1）令n=1，利用Sn=

1

4

(an+1)2，即可求出a₁，在令n=2，即a₁+a₂=

1

4

(a2+1)2，于是即可求出a₂．
（2）利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1，代入可求a_n

解答：解：（1）Sn=

1

4

(an+1)2
令n=1，可得S1=a1= 

1

4

(a1+1)2，由a₁＞0，可得a₁=1
令n=2，可得S2=a1+a2=

1

4

(a2+1)2，由a₂＞0，可得a₂=3
（2）∵Sn=

1

4

(an+1)2
∴當n≥2時，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2
兩式相減可得，Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2
即4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1-1）²
整理可得，（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∵a_n＞0
∴a_n-1=a_n-1+1或a_n-1=-a_n-1-1（舍）
∴a_n-a_n-1=2
{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1

點評：本題主要考查了利用遞推公式式a_n=S_n-S_n-1，求解數列的通項公式，解決此問題需要注意對n=1的檢驗，解決（2）主要是采用了構造特殊數列求解通項公式，要注意a_n＞0的條件在解題中的應用．