Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若，

求證：直線過定點；

（ii）試問點能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)2,(2) （i）見解析（ii）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設，聯立直線和橢圓方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理，求出點的坐標和所在直線方程，求點的坐標，利用基本不等式即可求得的最小值；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知所在直線方程，和橢圓方程聯立，求得點的坐標，并代入若 ，得到 ，因此得證直線過定點；

（ii）若點關于軸對稱，寫出點的坐標，求出的外接圓的圓心坐標和半徑，從而求出的外接圓方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意:設直線,

由消y得:,設A、B,AB的中點E,則由韋達定理得:=,即,,所以中點E的坐標為E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得

，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.

（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,又因為,,且，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實數k無關,所以直線過定點(-1,0).

（ii）假設點，關于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,

由（i）知點G(,所以點B(,又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為，又因為，所以解得或6，又因為,所以舍去,即，此時k=1，m=1，E，AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標為，G(,圓半徑為，圓的方程為.綜上所述,點，關于軸對稱,此時的外接圓的方程為