Question

【題目】已知函數

(1)當時，求函數的單調增區間；

(2)若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導數，由導數大于0，可得增區間；

（2）求出f（x）導數，求得切線的斜率和切點，可得切線方程，由題意可得關于x的方程有且只有一個解，即有且只有一個解．令，求出導數，對m討論，求出單調區間，運用單調性即可得到m的范圍．

試題解析：

(1)由題意知， ，

所以.

令得，所以函數的單調增區間是

所以曲線在點處的切線的方程為，

因為與曲線有且只有一個公共點,

即關于的方程有且只有一個解，

即有且只有一個解.

令，

則.

①時，由得，由，得，

所以函數在上為增函數，在上為減函數,

又，故符合題意；

②當時，由，得或，由，得，

所以函數在上為增函數，在上為減函數，在上為減函數，

又，且當時， ，此時曲線與軸有兩個交點，

故不合題意；

③當時， 在上為增函數，且，

故符合題意；

④當，由，得或，由，得，

所以函數在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，

又，且當 時， ，此時曲線與軸有兩個交點，

故不合題意；

綜上，實數的取值范圍或.