Question

已知函數(shù)f（x）=

a

2

x2-lnx，a∈R
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若任意x∈（0，e]，函數(shù)g（x）=

a

2

x2-lnx-

1

2

的值恒為正值，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）分離參數(shù)求最值，即可求a的范圍．

解答： 解：（1）∵a=1，
∴f(x)=

x2

2

-lnx，
∴x∈（0，+∞），f′(x)=x-

1

x

，
令f′（x）=0，則x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．
（2）g（x）=

a

2

x2-lnx-

1

2

的值恒為正值，可得a＞

2lnx+1

x2

令h（x）=

2lnx+1

x2

，則h′（x）=

-2lnx

x4

，
∴x∈（0，1]，h′（x）＞0，x∈[1，e]，h′（x）＜0
∴x=1時(shí)，h（x）取得最大值1，
∴a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用、由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，這種常規(guī)的數(shù)學(xué)思想方法需要理解掌握并運(yùn)用．