Question

曲線C₁，C₂都是以原點O為對稱中心，坐標軸為對稱軸、離心率相等的橢圓，點M的坐標是（0，1），線段MN是曲線C₁的短軸，并且是曲線C₂的長軸，直線l：y=m（0＜m＜1）與曲線C₁交于A，D兩點（A在D的左側），與曲線C₂交于B，C兩點（B在C的左側）．
（1）當m=

3

2

，|AC|=

5

4

時，求橢圓C₁，C₂的方程；
（2）當OC⊥AN，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設C₁的方程為

x2

a2

+y2=1，C₂的方程為

x2

b2

+y2=1，由C₁，C₂的離心率相同，可建立關于a，b的方程，結合|AC|=

5

4

，建立關系式求出a、b之值，進而可得橢圓C₁，C₂的方程；
（2）先求出A，C的坐標，利用OC⊥AN，可得（

1

a

1-m2

，m）•（A

1-m2

，-1-m）=0，即可求m的值．

解答： 解：（1）設C₁的方程為

x2

a2

+y2=1，C₂的方程為

x2

b2

+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1
∵C₁，C₂的離心率相同，∴

a2-1

a2

=1-b²，解之得ab=1，
∴C₂的方程為a²x²+y²=1．
當m=

3

2

時，A（-

1

2

a，

3

2

），C（

1

2a

，

3

2

）
又∵|AC|=

5

4

，∴

1

2a

-（-

1

2

a）=

5

4

，
解之得a=

1

2

（不符合題意，舍去）或a=2，從而得到b=

1

a

=

1

2

∴C₁、C₂的方程分別為

x2

4

+y2=1、4x²+y²=1．
（2）y=m代入C₁的方程

x2

a2

+y2=1，可得x_A=-a

1-m2

，
代入方程

x2

b2

+y2=1，可得x_C=b

1-m2

，
∵ab=1，
∴A（-a

1-m2

，m），C（

1

a

1-m2

，m）
∵線段MN是曲線C₁的短軸，∴N（0，-1），
∵OC⊥AN，
∴（

1

a

1-m2

，m）•（A

1-m2

，-1-m）=0
∴2m²+m-1=0，
∵0＜m＜1，
∴m=

1

2

．

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，及橢圓性質的綜合應用等知識，屬于中檔題．解答本題要求考生具備綜合運用數字知識的能力．