Question

【題目】已知四棱錐中，，，側面底面．

（Ⅰ）作出平面與平面的交線，并證明平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（1）延長與相交于點，連結，即為平面與平面的交線，利用面面垂直的性質定理可得側面，證出，，利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）以為原點，以分別為軸、軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求解.

（Ⅰ）延長與相交于點，連結，

則即為平面與平面的交線．

因為側面平面，且，

所以側面，

又側面，所以．

在中，，，

所以分別為的中點

所以，故．

又，所以平面，即平面．

（Ⅱ）以為原點，以分別為軸、軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示．則，

在直角三角形中，

由（Ⅰ）知分別為的中點，

所以，，

，，，

設平面的法向量為，

則，即，

取，則，故

設平面的法向量為，

則，即，

取，則，故

又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．