Question

已知圓M：x²+（y-4）²=1，直線l：2x-y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA、PB，切點為A、B．
（Ⅰ）若∠APB=60°，求P點坐標；
（Ⅱ）若點P的坐標為（1，2），過P作直線與圓M交于C、D兩點，當|CD|=

2

時，求直線CD的方程；
（Ⅲ）求證：經過A、P、M三點的圓與圓M的公共弦必過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（I）由條件可知|PM|=2，建立方程，可求P點坐標；
（Ⅱ）由條件可知圓心到直線CD的距離d=

2

2

，設直線CD的方程，可得結論；
（Ⅲ）經過A、P、M三點的圓與圓M相減，可得公共弦，即可求出結論．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知|PM|=2，設P（a，2a），則|PM|=

a2+(2a-4)2

=2
解得a=2或a=1.2，所以P（2，4）或P（1.2，2.4）…（4分）
（Ⅱ）由條件可知圓心到直線CD的距離d=

2

2

，設直線CD的方程為y-2=k（x-1），
則

|k+2|

k2+1

=

2

2

，解得k=-7或k=-1；
所以直線CD的方程為x+y-3=0或7x+y-9=0…（8分）
（III）設P（a，2a），過A，P，M三點的圓即以PM為直徑的圓，其方程為x（x-a）+（y-4）（y-2a）=0
與x²+（y-4）²=1相減可得（4-2a）y-ax+8a-15=0
即（-x-2y+8）a+4y-15=0
由

4y-15=0 -x-2y+8=0

，可得

x= 1 2 y= 15 4

∴經過A、P、M三點的圓與圓M的公共弦必過定點（

1

2

，

15

4

）．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查兩圓的公共弦，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．