Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，設(shè)點(diǎn)B，C是直線l：x-2y=0上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+4（t∈R），P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a且點(diǎn)P在線段BC上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，切點(diǎn)為A
（1）若t=0，MP=

5

，求直線PA的方程；
（2）經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心是D，
①將DO²表示成a的函數(shù)f（a），并寫出定義域．
②求線段DO長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（2a，a），由勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)建立關(guān)于a的方程，解之得a=1，得P（2，1）．因此設(shè)直線PA的方程為y-1=k（x-2），利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題意得出

|-2-2k+1|

1+k2

=1，解之即可得到直線PA的方程；
（2）①由圓的性質(zhì)結(jié)合PA與圓M相切，算出D的坐標(biāo)(a，

a

2

+1)，再利用兩點(diǎn)的距離公式得到DO²關(guān)于a的二次函數(shù)表達(dá)式，從而得到DO²表示成a的函數(shù)f（a），并給出其定義域；
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到f(a)min=f(

t

2

+2)=

15

16

t2+3t+8，再根據(jù)t＜-

24

5

分三種情況加以討論，分別結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，最后綜合可得線段DO的最小值關(guān)于a的分段形式的表達(dá)式，得到本題答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B、C是直線l：x-2y=0上的兩點(diǎn)，
∴可設(shè)P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP=

5

，∴

(2a)2+(a-2)2

=

5

．
解得a=1或a=-

1

5

（舍去），可得P（2，1）．
由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k．
可得直線PA的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直線PA與圓M相切，
∴

|-2-2k+1|

1+k2

=1，解得k=0或k=-

4

3

．
因此直線PA的方程是y=1或4x+3y-11=0．
（2）①∵PA與圓M相切于點(diǎn)A，∴PA⊥MA．
∴經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn)．
∵M(jìn)（0，2），∴D的坐標(biāo)是(a，

a

2

+1)．
可得DO²=f(a)=a2+(

a

2

+1)2=

5

4

a2+a+1=

5

4

(a+

2

5

)2+

4

5

．（a∈[

t

2

，

t+4

2

]）
②f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8（t＜-

24

5

）
當(dāng)

t

2

＞-

2

5

，即t＞-

4

5

時(shí)，f(a)min=f(

t

2

)=

5

16

t2+

t

2

+1；
當(dāng)

t

2

≤-

2

5

≤

t

2

+2，即-

24

5

≤t≤-

4

5

時(shí)，f(a)min=f(-

2

5

)=

4

5

；
當(dāng)

t

2

+2＜-

2

5

，即t＜-

24

5

時(shí)f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
所以線段DO長(zhǎng)的最小值為：L(t)=

1 4 5t2+8t+16 ，t＞- 4 5 2 5 5 ，- 24 5 ≤t≤- 4 5 1 4 5t2+48t+128 ，t＜- 24 5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與圓相切，求切線的方程并求線段長(zhǎng)的最小值．著重考查了圓的方程、直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．