Question

已知圓M：x²+（y-4）²=4，直線l的方程為x-2y=0，點P是直線l上一動點，過點P作圓的切線PA、PB，切點為A、B．
（Ⅰ）當P的橫坐標為

16

5

時，求∠APB的大小；
（Ⅱ）求證：經過A、P、M三點的圓N必過定點，并求出所以定點的坐標．
（Ⅲ）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題可知，圓M的半徑r=2，P(

16

5

，

8

5

)，∠MAP=90°，根據MP=2r，可得∠MPA=30°，從而可求∠APB的大小；
（Ⅱ）設P的坐標，求出經過A、P、M三點的圓的方程即可得到圓過定點；
（Ⅲ）將圓N與圓M方程相減，可得圓M方程與圓N相交弦所在直線m方程，求出點M到直線m的距離，即可得到相交弦長，利用配方法，可求AB的最小值

11

．

解答：（Ⅰ）解：由題可知，圓M的半徑r=2，P(

16

5

，

8

5

)，
因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°
又因MP=

(0- 16 5 )2+(4- 8 5 )2

=4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°；　　　　　　　　　　　…（4分）
（Ⅱ）證明：設P（2b，b），因為∠MAP=90°，所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，…（7分）
解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，所以圓過定點(0，4)，(

8

5

，

4

5

)　　　…（9分）
（Ⅲ）解：因圓N方程為(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0 　　　　　　　　…①
圓M：x²+（y-4）²=4即x²+y²-8y+12=0　　　　　…②
②-①得圓M方程與圓N相交弦所在直線m方程為2bx+（b-4）y+12-4b=0…（11分）
點M到直線m的距離d=

4

5b2-8b+16

　　　　　…（13分）
相交弦長即AB=2

4-d2

=4

1- 4 5b2-8b+16

=4

1- 4 5(b- 4 5 )2+ 64 5

　…（15分）
當b=

4

5

時，AB有最小值

11

　　　　　　　　　　　　　…（17分）

點評：本題考查直線與圓的綜合，考查圓過定點，考查圓的弦長問題，考查兩圓位置關系，確定圓的方程是關鍵．