Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切圓M于A，B兩點．
（1）若點Q的坐標為（1，0），求切線QA、QB的方程；
（2）求四邊形QAMB的面積的最小值；
（3）若|AB|=

4 2

3

，求直線MQ的方程．

Answer 1

分析：（1）設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線QA、QB的方程；
（2）求出四邊形QAMB的面積的表達式，利用|MQ|＞|MO|求出面積的最小值；
（3）設AB與MQ交于點P，通過MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，即可求直線MQ的方程．

解答：解：（1）設過點Q的圓M的切線方程為x=my+1，------（1分）
則圓心M到切線的距離為1，∴

|2m+1|

m2+1

=1⇒m=-

4

3

或0，------（4分）
∴切線QA、QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1------（5分）
（2）∵MA⊥AQ，∴S_MAQB=|MA|•|QA|=

|MQ|2-|MA|2

=

|MQ|2-1

≥

|MO|2-1

=

3

------（10分）
（3）設AB與MQ交于點P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=3
設Q（x，0），則x2+22=9，x=±

5

，∴Q(±

5

，0)
∴直線MQ的方程為2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0------（14分）

點評：本題考查圓的切線方程的求法，四邊形面積的求法，兩點間的距離公式的應用，考查轉化思想與計算能力．