Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求異面直線與的夾角.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由等腰三角形三線合一得出，連接，計(jì)算出三邊邊長，利用勾股定理證明出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接、、、，由中位線的性質(zhì)可得出，，由此可得出異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，然后計(jì)算出三邊邊長，利用余弦定理求出，即可得出答案.

（1），為的中點(diǎn)，，且.

連接，，，，.

且有，.

，，

，、平面，平面；

（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接、、、，

、分別為、的中點(diǎn)，，且.

，且，

為的中點(diǎn)，則.

又為的中點(diǎn)，，且.

所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角.

平面，平面，，

易知，且.

在中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，則.

在中，，，.

由余弦定理得.

因此，異面直線與所成的角為.