Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右兩個焦點分別為設，若為正三角形且周長為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若過點且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，是否存在實數使成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

(3)若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點兩點，記的面積記為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】;答案見解析

【解析】

（1）為正三角形且周長為，得周長等于,在中故得,在橢圓中有,列出方程組即可求得和的值進而求得橢圓方程;

（2）假設存在實數使成立,則．聯立,通過韋達定理求解,若有解,假設成立,否則不成立.

（3）分類討論,設直線的方程,代入橢圓方程,利用韋達定理及基本不等式的性質,即可求得的取值范圍．

(1)為正三角形且周長為,故得:

在中,故得

橢圓 , 故得

聯立方程可得:

解得:

故橢圓的標準方程: .

(2)假設存在實數使成立,則

設點設,

則: ①

設直線方程為

聯立，消掉y得,

顯然,方程有根,且 ②, ③

將代入①式得: ④

把②③式代入④式得:

化簡可得: 即: 得

所以不存在實數使成立.

（3）當直線無斜率時，直線方程為此時 ，記的面積記為,

當直線斜率存在(顯然)時，設直線方程為

設,聯立，消掉y得,

顯然方程有根,且,

此時

因為則|（時等號成立）

所以的最大值為,則

的取值范圍.