Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax+4．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）求函數f（x）在區間[0，3]上的最小值g（a）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求導，通過討論a的取值，討論函數的單調性．
（2）利用導數通過分類討論求出函數的最小值．

解答： 解：（1）f'（x）=x²+a．
①當a≥0時，f'（x）=x²+a≥0，故f（x）在R上為增函數．
②當a＜0，f'（x）=x²+a，
令f'（x）=0，解得x=-

-a

或x=

-a

所以函數f（x）在（-∞，-

-a

）和（

-a

，+∞）內單調遞增，在（-

-a

，

-a

）內單調遞減．
（2）當a≥0時，f'（x）=x²+a≥0，故f（x）在R上為增函數．
∴f（x）在[0，3]上單調遞增，
∴f（x）在x=0處取得最小值，且f（0）=4．
 ②當a＜0時，
（i）當0＜

-a

＜3，即-9＜a＜0時，由（1）知f（x）在[0，

-a

]上單調遞減，（

-a

，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在x=

-a

處取得最小值，且f（

-a

）=

1

3

(

-a

)3+a•

-a

+4=

4a -a

3

+4．
（ii）當

-a

≥3，即a≤-9時，由（1）知f（x）在[0，3]上單調遞減，
∴f（x）在x=3處取得最小值，且f（3）=（x）=

1

3

×3³+3a+4=13+3a
綜上所述，g（a）=

4，a≥0 4a -a 3 +4，-9＜a＜0 13+3a，a≤-9

點評：本題的考點是函數的單調性和最值與導數之間的關系．對應含有參數的函數的單調性要對參數進行討論．