Question

（本小題滿分14分）
已知函數，，記。
（Ⅰ）判斷的奇偶性，并證明；
（Ⅱ）對任意，都存在，使得，.若，求實數的值；
（Ⅲ）若對于一切恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）奇函數(2) (3)

試題分析：解：（Ⅰ）函數為奇函數………………………………………………2分
現證明如下：
∵函數的定義域為，關于原點對稱。……………………………………3分
由…………………5分
∴函數為奇函數…………………………………………………6分
（Ⅱ）據題意知，當時，，…………7分
∵在區間上單調遞增，
∴，即………………………………………8分
又∵
∴函數的對稱軸為
∴函數在區間上單調遞減
∴，即………………………………………9分
由，
得，∴………………………………………………………………10分
（Ⅲ）當時，
即，
，…………………………………………………12分
令，
下面求函數的最大值。
，
∴……………………………………………………………………13分
故的取值范圍是………………………………………………………14分
點評：解決該試題的關鍵是能熟練的運用指數函數和二次函數的性質得到最值，以及根據奇偶性的定義準確的證明，同時對于不等式的恒成立問題，能分離參數法來得到其取值范圍。屬于中檔題。