Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別是，且點在上，拋物線與橢圓交于四點

（I）求的方程；

（Ⅱ）試探究坐標平面上是否存在定點，滿足?（若存在，求出的坐標；若不存在，需說明理由.）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：（I）根據橢圓定義求，再根據c求b，即得的方程；（Ⅱ）根據橢圓和拋物線對稱性得轉化為研究的垂直平分線和軸的交點是否為定點.聯立拋物線方程與橢圓方程，利用韋達定理以及中點公式得，再根據直線斜率公式得AB斜率，表示垂直平分線方程，求得其和軸的交點為，即得結論.

試題解析：（I）依題意有：

所以

所以橢圓的方程為：

（Ⅱ）法一：由于橢圓和拋物線都關于軸對稱，故它們的交點也關于軸對稱，不妨設，則

若存在點滿足條件，則點在軸上，設，

聯立

則，

由于

所以

又

所以

則

即

故坐標平面上存在定點，滿足

法二：由于橢圓和拋物線都關于軸對稱，故它們的交點也關于軸對稱，不妨設，則 的中心

依題意，只要探究的垂直平分線和軸的交點是否為定點.

聯立

則，

所以，直線：

令得： 為定值，

故坐標平面上存在定點，滿足.