Question

【題目】橢圓C1： +y2=1，橢圓C2： （a＞b＞0）的一個焦點坐標為（ ，0），斜率為1的直線l與橢圓C2相交于A、B兩點，線段AB的中點H的坐標為（2，﹣1）．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設P為橢圓C2上一點，點M、N在橢圓C1上，且 ，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C2： =1（a＞b＞0）的一個焦點坐標為（ ，0），

則c= ，即有a2﹣b2=5，①

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 =1， =1，

兩式相減的， + =0，

由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，

則有kAB= = =1，②

由①②解得，a= ，b= ．

則橢圓C2的方程為 =1；

（2）解：設P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

則 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，

由 ，

可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴ ，

∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴ =﹣ ，即kOMkON=﹣ ，

∴直線OM與直線ON的斜率之積為定值，且定值為﹣

【解析】（1）求出橢圓C2的c，設出A（x1 ， 1），B（x2 ， y2），代入橢圓方程，運用點差法，結合中點坐標公式和直線的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求橢圓方程；（2）設P（x0 ， y0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），代入橢圓方程，再由向量的坐標相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之積為定值．