Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形， .

（1）證明： ；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接，交于點(diǎn)菱形性質(zhì)得根據(jù)線面垂直判定定理得平面即得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，

所以，且為與的中點(diǎn)， ，∴，

又，所以平面.

故

（2）在中，∵，∴.

結(jié)合（1）可知， 三條直線兩兩垂直，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在中，∵，∴，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，

因?yàn)?/span>，所以， .

所以， ， ， .

， ，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，所以可取，則.

同理，平面一個(gè)法向量

則，所以.