Question

【題目】設f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；
（Ⅱ）對任意的非零實數x，有f（x）≥（m2﹣m+2）|x|恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當x≤ 時，原不等式可化為﹣（3x﹣2）﹣（x﹣2）≤8，解得x≥﹣1，故此時﹣1≤x≤ ；

當 ＜x≤2時，原不等式可化為3x﹣2﹣（x﹣2）≤8，解得x≤4，故此時 ＜x≤2；

當x＞2時，原不等式可化為3x﹣2+x﹣2≤8，即x≤3，故此時2＜x≤3．

綜上可得，原不等式的解集為{x|﹣1≤x≤3}．

（Ⅱ）對任意的非零實數x，有f（x）≥（m2﹣m+2）|x|恒成立，

則不等式可化為：m2﹣m+2≤|3﹣ |+|1﹣ |恒成立．

因為|3﹣ |+|1﹣ |≥|3﹣ + ﹣1|=2，

所以要使原式恒成立，只需m2﹣m+2≤2即可，即m2﹣m≤0．

解得0≤m≤1．

【解析】（Ⅰ）分情況將原不等式絕對值符號去掉，然后求解；（Ⅱ）兩邊同除以|x|，然后求出左邊的最小值，解關于m的不等式即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．