Question

【題目】已知函數，其中

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）函數的單調區間與導數的符號相關，而函數的導數為，故可以根據的符號討論導數的符號，從而得到函數的單調區間.（2）若不等式 在 上有解，那么在上， .但在上的單調性不確定，故需分 三種情況討論.

解析：（1），

①當時，在上， 在上單調遞增；

②當時，在上；在上；所以在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上所述，當時， 的單調遞增區間為，當時， 的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）若在上存在，使得成立，則在上的最小值小于.

①當，即時，由（1）可知在上單調遞增， 在上的最小值為，由，可得，

②當，即時，由（1）可知在上單調遞減， 在上的最小值為，由，可得 ；

③當，即時，由（1）可知在上單調遞減，在上單調遞增， 在上的最小值為，因為，所以，即，即，不滿足題意，舍去.

綜上所述，實數的取值范圍為.