Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點是的中點，且，.

（1）求四棱錐的體積；
（2）求證：∥平面；
（3）求直線和平面所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）證得側棱底面，體積。
（2）證得∥且，
由四邊形是平行四邊形，得到∥，推出∥平面 。
（3）直線和平面所成的角的正弦值是。

解析試題分析：（1）∵⊥底面,底面,底面
∴⊥, ⊥
∵,、是平面內的兩條相交直線
∴側棱底面            2分
在四棱錐中，側棱底面，底面是直角梯形，
，，∴∥且，
所以，四棱錐的體積是。
（2）在四棱錐中，側棱底面，底面是直角梯形，
，
∴∥且，
∴∥且
∴四邊形是平行四邊形
∴∥
∵，
∴∥平面             8分
（3）∵側棱底面，底面
∴
∵垂直于，、是平面內的兩條相交直線
∴，垂足是點
∴是在平面內的射影，
∴是直線和平面所成的角
∵在中，，
∴
∴
∴ 直線和平面所成的角的正弦值是