Question

如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，.
(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)設(shè)．
(ⅰ) 若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)；
(ⅱ) 在線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等？說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ，不存在點(diǎn).

解析試題分析：(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，利用兩向量垂直，，列表達(dá)式，求出法向量，再由直線與平面所成的角為，得出法向量中的參量；先設(shè)存在點(diǎn)，找出的坐標(biāo)，利用距離相等，列出表達(dá)式，看方程是否有根來判斷是否存在點(diǎn).
試題解析：解法一：
(Ⅰ)證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8e/6/1syyh4.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以平面⊥平面.                 3分
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖)．

在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，則.
在中，，
.
設(shè)，則，．
由得，
所以，，，
，．                 5分
(ⅰ)設(shè)平面的法向量為．
由，，得
取，得平面的一個(gè)法向量．
又，故由直線與平面所成的角為得
，即.
解得或 (舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ce/a/18ucq2.png" style="vertical-align:middle;" />)，所以.          7分
(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)