Question

如圖所示，四棱錐,底面是邊長為的正方形，⊥面，,過點作,連接．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若面交側棱于點，求多面體的體積.

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）利用線線垂直證明線面垂直；（Ⅱ）利用椎體體積公式，找高求面積.
試題解析：（Ⅰ）證明：PA⊥面ABCD,BC在面ABCD內，
∴ PA⊥BC  BA⊥BC,PA∩BA=A,∴BC⊥面PAB，
又∵AE在面PAB內∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB="B,"
∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC內AE⊥PC, AF⊥PC, AE∩AF="A,"
∴PC⊥面AEF        6分
（Ⅱ） PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C  AG⊥面PDC,
∵GF在面PDC內∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，
由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=,EF=GF=  ∴, 又AF=,∴, PF=
∴     13分
考點：線面垂直的證明，體積求解.