Question

無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為-2的等差數列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列（其中m≥3，m∈N^*），并且對于任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n成立．若a51=

1

64

，則m的取值集合為

 

．記數列{a_n}的前n項和為S_n，則使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)的m的取值集合為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據題意，a₅₁=

1

64

是等比數列中的項，求出項數n，根據a_n+2m=a_n成立知，數列為周期數列，周期為2m，求出m的值．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，設f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，則g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），在m=-5或6時取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，所以存在這樣的m=6使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)．

解答： 解：（1）等差數列通項公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比數列通項公式：a_n=

1

2

•(

1

2

)n-m-1=(

1

2

)n-m，
由題意知a51=

1

64

是等比數列中的項，
在等比數列中，令(

1

2

)n-m=

1

64

，
解得n-m=6，n=m+6，
對一切正整數n，都有a_n+2m=a_n成立，a51=

1

64

，
∴m+6=51，或m+6+2m=51，或m+6+4m=51，
∴m=45，15或9，
即m的取值集合為 {45，15，9}．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，
可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，
設f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，則g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），
存在m=-5或6時取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，
所以存在這樣的m=6，使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)，
因此m的取值集合為{6}．
故答案為：{45，15，9}；{6}．

點評：本題主要考查了數列的概念，考查了等差、等比數列的性質，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．