Question

設函數f（x）=

x

x+2

（x＞0），定義f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當n∈N⁺且n≥2時，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n為正整數），則f₃（x）=

 

；f_n（x）=

 

．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：分別計算出f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析不等式的構成，尋找規律，進行歸納．

解答： 解：∵函數f₁（x）=f(x)=

x

x+2

(x＞0)，n≥2時，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n為正整數），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，
f₃（x）=f（f₂（x））=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
同理可得f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
所給的函數式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的數分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

，
故答案為：

x

7x+8

，

x

(2n-1)x+2n

．

點評：本題考查歸納推理，實際上可看作給出一個數列的前幾項寫出數列的通項公式．