Question

已知命題P₁：函數y=(

3

2

)x-3+2a有負零點；命題P2：f(x)=

4+ax

a-1

(a≠1)在區間[-3，-1]是增函數．若P₁，P₂都是真命題，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：命題P₁考查函數有零點問題，可轉化成求函數的值域問題；
命題P₂中是已知單調性求參數范圍問題，要考慮a-1的正負和4+ax的單調性，還要注意到4+ax≥0恒成立．

解答：解：命題P_1：函數y=(

3

2

)x -3+2a有負零點，即關于x的方程(

3

2

)x=3-2a有負數根，
則0＜3-2a＜1，1＜a＜

3

2

；
命題P₂：令g（x）=4+ax，則g（x）=4+ax≥0在區間[-3，-1]上恒成立，
∴a≤-

4

x

在區間[-3，-1]上恒成立，只要a≤-

4

x

在區間[-3，-1]上的最小值，即a≤

4

3

．
∵a≠1∴1＜a≤

4

3

時，g（x）=4+ax在區間[-3，-1]上增，且a-1＞0，所以f（x）在區間[-3，-1]是增函數，
0＜a＜1時，g（x）=4+ax在區間[-3，-1]上增，且a-1＜0，所以f（x）在區間[-3，-1]是減函數，
a＜0時，g（x）=4+ax在區間[-3，-1]上減，且a-1＜0，所以f（x）在區間[-3，-1]是增函數，
綜上所述：命題P₂為真命題時，a的范圍是1＜a≤

4

3

或a＜0，
若P₁，P₂都是真命題，則實數a的取值范圍是1＜a≤

4

3

故答案為：1＜a≤

4

3

點評：本題考查函數的零點問題和復合函數的單調性問題，函數的零點?對應方程的根．