Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m）
（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)m≤2時，證明f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴ ，解得m=1．

所以函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域為（﹣1，+∞）．

∵ ．

設(shè)g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)，

又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜0時，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；

（2）解：證明：當(dāng)m≤2，x∈（﹣m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時f（x）＞0．

當(dāng)m=2時，函數(shù) 在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．

故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實數(shù)根x0，且x0∈（﹣1，0）．

當(dāng)x∈（﹣2，x0）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，

從而當(dāng)x=x0時，f（x）取得最小值．

由f′（x0）=0，得 ，ln（x0+2）=﹣x0．

故f（x）≥ = ＞0．

綜上，當(dāng)m≤2時，f（x）＞0．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因為x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明當(dāng)m≤2時，f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=2時f（x）＞0．求出當(dāng)m=2時函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在（﹣1，0）上有唯一零點(diǎn)x0 ， 則當(dāng)x=x0時函數(shù)取得最小值，借助于x0是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f（x0）＞0，從而結(jié)論得證．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．