Question

（2006•崇文區一模）已知一次函數f（x）=ax-2
（I）當a=3時，解不等式|f（x）|＜4；
（II）解關于x的不等式|f（x）|＜4；
（III）若不等式|f（x）|≤3對任意x∈（0，1]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）a=3時，f（x）=3x-2，然后代入|f（x）|＜4，去絕對值后即可求出x的取值范圍；
（II）先去絕對值，然后討論a的符號，分別求出相應的解集即可；
（III）將若不等式|ax-2|≤3對任意x∈（0，1]恒成立，轉化成-3≤ax-2≤3對任意x∈（0，1]恒成立，然后根據一次函數的單調性即可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）∵a=3時，f（x）=3x-2
∴|f(x)|＜4?|3x-2|＜4?-4＜3x-2＜4?-2＜3x＜6?-

2

3

＜x＜2
∴不等式的解集為{x|-

2

3

＜x＜2}（6分）
（II）∵|ax-2|＜4
∴-4＜ax-2＜4即-2＜ax＜6
當a＞0時，不等式|f（x）|＜4的解集為{x|-

2

a

＜x＜

6

a

}
當a＜0時，不等式|f（x）|＜4的解集為{x|-

2

a

＞x＞

6

a

}
當a=0時，不等式|f（x）|＜4的解集為R．
（III）若不等式|ax-2|≤3對任意x∈（0，1]恒成立
即-3≤ax-2≤3對任意x∈（0，1]恒成立
即-3≤a-2≤3
∴-1≤a≤5

點評：本題主要考查了函數恒成立，以及絕對值不等式的求解，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．