Question

（2006•崇文區(qū)一模）如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′中，CB⊥平面ABB′A′，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，AB=BC=AA′
（I）求證直線CA′∥平面AB′E；
（II）求二面角C-A′B′-B的大小；
（III）求直線CA′與平面BB′C′C所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由直三棱的結(jié)構(gòu)特征（側(cè)面與底面垂直）結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得CD⊥平面PAD，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)可得AE⊥CD，再由正三角形三線合一，結(jié)合△PAD為正三角形，E為PD中點(diǎn)，可得AE⊥PD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得直線CA′∥平面AB′E；
（II）作PQ∥AB且PQ=AB，連QB、QC，易證△PAD≌△QBC，結(jié)合（1）中CD⊥平面PAD和二面角的平面角的定義，可得∠BQC是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角；
（III）作BF⊥QC，則F為QC中點(diǎn)，連PF，可得四邊形AEFB是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的第二判定定理，結(jié)合AE⊥平面PDC證得BF⊥平面PDC，即∠BPF是BP與平面PDC所成的角，解三角形BPF，可得答案．

解答：證明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，AD為交線，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴AE⊥CD
又∵△PAD為正三角形，E為PD中點(diǎn)
∴AE⊥PD
∵PD∩DC=D
∴AE⊥平面PCD（5分）
解：（II）作PQ∥AB且PQ=AB，連QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
∴△PAD≌△QBC
∵CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，CD⊥PA
∴PQ⊥BQ，PQ⊥CQ
∴∠BQC是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
∵∠BQC=∠APD=60°
∴平面PAB與平面PDC所成二面角的大小為60°（10分）
（III）作BF⊥QC，則F為QC中點(diǎn)，連PF
∵EF

∥ .

.

AB
∴四邊形AEFB是平行四邊形，BF∥AE
∵AE⊥平面PDC
∴BF⊥平面PDC
∴∠BPF是BP與平面PDC所成的角
設(shè)PA=a，則BF=

3

2

a，BP=

2

a
則由直三角形PFB可得sin∠BPF=

BF

BP

=

6

4

∴∠BPF=arcsin

6

4

∴直線PB與平面PDC所成角的大小為arcsin

6

4

（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，其中（I）的關(guān)鍵，是熟練掌握線面垂直，線線垂直及面面垂直之間的轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是確定∠BQC是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角，（III）的關(guān)鍵是確定∠BPF是BP與平面PDC所成的角．