Question

已知數列{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列，數列{b_n}是首項為1，公比為q(q＞1)的等比數列．
(1)若a₅＝b₅，q＝3，求數列{a_n·b_n}的前n項和；
(2)若存在正整數k(k≥2)，使得a_k＝b_k.試比較a_n與b_n的大小，并說明理由．．

Answer 1

（1）S_n＝（2）當1＜n＜k時，a_n＜b_n；當n＞k時，a_n＞b_n；當n＝1，k時，a_n＝b_n.

審題引導：①等差數列與等比數列對應項的積錯位相減求和；②作差比較．
規范解答：解：(1)依題意，a₅＝b₅＝b₁q^5－1＝1×3⁴＝81，故d＝＝20，
所以a_n＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分)
令S_n＝1×1＋21×3＋41×3²＋…＋(20n－19)·3^n－1，①
則3S_n＝1×3＋21×3²＋…＋(20n－39)·3^n－1＋(20n－19)·3ⁿ，②
①－②，得－2S_n＝1＋20×(3＋3²＋…＋3^n－1)－(20n－19)·3ⁿ＝1＋20×－(20n－19)·3ⁿ＝(29－20n)·3ⁿ－29，所以S_n＝.(7分)
(2)因為a_k＝b_k，所以1＋(k－1)d＝q^k－1，即d＝，
故a_n＝1＋(n－1).又b_n＝q^n－1，(9分)所以b_n－a_n＝q^n－1－
＝[(k－1)(q^n－1－1)－(n－1)(q^k－1－1)]
＝[(k－1)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q＋1)－(n－1)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q＋1)]．(11分)
(ⅰ)當1＜n＜k時，由q＞1知
b_n－a_n＝[(k－n)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q＋1)－(n－1)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q^n－1)]
＜[(k－n)(n－1)q^n－2－(n－1)(k－n)q^n－1]＝－
＜0；(13分)
(ⅱ)當n＞k時，由q＞1知
b_n－a_n＝[(k－1)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q^k－1)－(n－k)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q＋1)]
＞[(k－1)(n－k)q^k－1－(n－k)(k－1)q^k－2]
＝(q－1)²q^k－2(n－k)
＞0，(15分)
綜上所述，當1＜n＜k時，a_n＜b_n；當n＞k時，a_n＞b_n；當n＝1，k時，a_n＝b_n.(16分)
(注：僅給出“1＜n＜k時，a_n＜b_n；n＞k時，a_n＞b_n”得2分)
錯因分析：錯位相減時項數容易搞錯，作差比較后學生不能靈活倒用等比數列求和公式1－qⁿ＝(1－q)(1＋q＋q²＋…＋q^n－1)