Question

【題目】幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了三款軟件，為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動，這三款軟件的激活碼分別為下面數(shù)學問題的三個答案：已知數(shù)列，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，以此類推，試根據(jù)下列條件求出三款軟件的激活碼

（1）A款應用軟件的激活碼是該數(shù)列中第四個三位數(shù)的項數(shù)的平方

（2）B款應用軟件的激活碼是該數(shù)列中第一個四位數(shù)及其前所有項的和

（3）C款應用軟件的激活碼是滿足如下條件的最小整數(shù)：①；②該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪

Answer 1

【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897

【解析】

（1）講數(shù)列按照規(guī)律重新書寫成行列形式，依次觀察三位數(shù)出現(xiàn)的順序；

（2）根據(jù)第一問重新書寫的形式找到第一個四位數(shù)1024所在位置即可求和；

（3）先確定第1000項出現(xiàn)在哪一行，再計算前m行所有項之和，要變成2的整數(shù)冪形式需要再加多少，即可求解.

（1）由題可以將數(shù)列排成如下形式：

1，

1，2，

1，2，4，

1，2，4，8，

1，2，4，8，16，

1，2，4，8，16，32，

…

由2的整數(shù)冪可知：第一個三位數(shù)是，

下一行產(chǎn)生第二個和第三個三位數(shù)，依次是，

下一行產(chǎn)生第四個三位數(shù)，

觀察數(shù)列規(guī)律：①每行的行數(shù)即該行的項數(shù)，②第行的最后一項，

第三個三位數(shù)出現(xiàn)在第9行最后一項，第四個三位數(shù)出現(xiàn)在第10行第8項，

其項數(shù)為，

所以A款應用軟件的激活碼是2809.

（2）由2的整數(shù)冪可知第一個四位數(shù)是，第11行第11項，根據(jù)規(guī)律：

設(shè)上面數(shù)列第行數(shù)列之和為，可得，

所以第一個四位數(shù)及其以前所有項之和為

（3）由題：前行一共項，

由條件①，設(shè)，可得，

滿足條件的最小整數(shù)至少在第45行或大于第45行中的某個項數(shù)，

根據(jù)條件②：前行所有項之和

，

要滿足這個數(shù)是2的整數(shù)冪，必須第行前項之和為，且

前項之和

即，，，即，

要使取值最小，只有當時滿足題意，此時，

所以滿足條件的最小整數(shù).