Question

【題目】已知，實數，函數，函數.

（Ⅰ）令，當時，試討論函數在其定義域內的單調性；

（Ⅱ）當時，令，是否存在實數，使得對于函數定義域中的任意實數，均存在實數，有成立？若存在，求出實數的取值集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）求導，討論參數的大小，進而研究函數的定義域和導數的符號變化，再確定函數的單調性；（Ⅱ）構造函數，討論的范圍和的大小關系，將問題轉化為求函數的最值問題，再利用導數的符號變化確定函數的單調性，進而確定函數的最值．

詳解：（Ⅰ）

1. ,此時函數的定義域為，故函數在內單調遞增, 在內單調遞減.

2. ,，

此時函數的定義域為，

令，此時恒成立. 令得，

函數在內單調遞增，在內單調遞減.

綜上，當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減；當時，函數在內單調遞增, 在內單調遞減.

（Ⅱ）當時，假設存在實數滿足條件，

則在上恒成立．

1. 當時，

可化為，

令

問題轉化為：對任意恒成立(*)；

又

（1） 時，因為，

故，所以函數在時單調遞減，，

即，從而函數在時單調遞增，

故，所以(*)成立，滿足題意；

（2） 當，，

因為，所以，記，則當時，，

故，所以函數在時單調遞增，，

從而函數在時單調遞減，所以，此時(*)不成立；

所以當，恒成立時，；

2. 當時，

可化為

令，

問題轉化為：對任意的恒成立(**)；

又

（1）時，，故，所以函數在時單調遞增，，即，

從而函數在時單調遞增，所以，此時(**)成立；

（2） 當時，

①若，必有，故函數在上單調遞減，

所以，即，

從而函數在時單調遞減，所以，此時(**)不成立；

② 若，則，所以時，

故函數在上單調遞減，，即，

所以函數在時單調遞減，所以，此時(**)不成立；

所以當，恒成立時，.

綜上所述，當，恒成立時，，

從而實數的取值集合為.