Question

【題目】已知函數

（1）若在區間上是單調遞增函數，求實數的取值范圍;

（2）若在處有極值10，求的值;

（3）若對任意的，有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）m≥－（2）（3）m∈[－1 ，1]

【解析】分析：(1) 由在區間上是單調遞增函數得，

當 時， 恒成立，由此可求實數的取值范圍;

（2），由題或，判斷當時，，無極值，舍去，則可求；

（3）對任意的，有恒成立，即在上最大值與最小值差的絕對值小于等于2．求出原函數的導函數，分類求出函數在的最值，則答案可求；

詳解：

(1) 由在區間上是單調遞增函數得，

當 時， 恒成立，即 恒成立，

解得

（2），由題或

當時，，無極值，舍去.

所以

（3）由對任意的x1，x2∈[－1，1]，有| f(x1)－f(x2)|≤2恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤2．

且| f(1)－f(0)|≤2，| f(－1)－f(0)|≤2，解得m∈[－1，1]，

①當m=0時，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上單調遞增，

fmax(x)－fmin(x)= | f(1)－f(－1)|≤2成立．

②當m∈(0，1]時，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，則f(x)在(－m，0)上單調遞減；

同理f(x)在(－1，－ m)，(0，1)上單調遞增，

f(－m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比較這兩者的大小，

令h(m)=f(－m)－f(1)= m3－m－1，m∈[0，1]，

h＇(m)= m2－1＜0，則h(m)在(0，1] 上為減函數，h(m)≤h(0)=－1＜0，

故f(－m)＜f(1)，又f(－1)= m－1+m2≤m2=f(0)，僅當m=1時取等號.

所以fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立．

③同理當m∈[－1 ，0)時，fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立．

綜上得m∈[－1 ，1]．