Question

【題目】（江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．

（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的范圍；

（3）對(duì)于曲線y＝f(x)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，證明：f ′()＜k．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】分析：（1）求極值可先求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間從而確定極值點(diǎn)求極值；（2）由（1）可知當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；故只需討論當(dāng)a＞0時(shí)的零點(diǎn)情況，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)有極大值， 令（x＞0），求導(dǎo)分析單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)定理進(jìn)行證明即可；（3）由斜率計(jì)算公式得 ，而 ，將看成一個(gè)整體構(gòu)造函數(shù)（），分析其最大值即可.

解：（1），，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增；

，在上單調(diào)遞減，

函數(shù)有極大值，無極小值．

（2）由（span>1）可知當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)有極大值，

令（x＞0）， ，

，，在(0，1)上單調(diào)遞減；

，，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，

函數(shù)有最小值．

要使若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，必須滿足，

下面證明時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，

所以下面證明還有另一個(gè)零點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，，

，

令()，，

在上單調(diào)遞減，，則，

所以在上有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞減，

所以在上有惟一零點(diǎn)，從而有兩個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，，

，

易證，可得，

所以在上有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞減，

所以在上有惟一零點(diǎn)，從而有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，的范圍是．

（3）證明：，

，

又，，

不妨設(shè)0＜x2＜x1， t＝，則t＞1，

則．

令（），

則，

因此h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(t)＜h(1)＝0.

又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，

所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．