Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線L：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁作斜率為2的直線l交雙曲線L的左支上方于點P，若∠F₁PF₂為直角，則此雙曲線的離心率等于

5

．

Answer 1

分析：先得出過點F₁且斜率為2的直線l的方程，再利用垂直關系得出直線PF₁的方程，求出它們的交點坐標即為P的坐標，利用P在雙曲線上，其坐標適合方程，將點的坐標代入雙曲線方程得出關于a，b，c的關系式，最后把等量關系轉化為用a，c來表示即可求雙曲線C的離心率．

解答：解：由題意得，過點F₁作斜率為2的直線l為y=2（x+c），
又因∠F₁PF₁為直角，∴直線PF₁的斜率為-

1

2

，直線PF₁的方程為：y=-

1

2

（x-c），
兩直線聯立，解得交點P的坐標為（-

3c

5

，

4c

5

），如圖．
將P的坐標代入雙曲線方程，得

(- 3c 5 )2

a2

-

( 4c 5 )2

b2

=1，
即9b²c²-16a²c²=25a²b²，又b²=c²-a²，
代入得：9（c²-a²）c²-16a²c²=25a²（c²-a²）．
化簡得：9c⁴-50a²c²+25a⁴=0．
解得

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題是對雙曲線性質中離心率的考查．求離心率，只要找到a，c之間的等量關系即可求．是基礎題．