Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線的上一點(diǎn)，若

PF1

•

PF2

=0且|

PF1

|•|

PF2

|=3ab，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)向量積為0判斷兩直線垂直，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可知|

PF1

| 2+|

PF2

| 2=4c2，進(jìn)而根據(jù)|

PF1

|•|

PF2

|=-

(| PF1 |-| PF2 |) 2-(| PF1 | 2+| PF2 |) 2

2

建立等式求得a和b的關(guān)系式，最后根據(jù)a，b和c的平方關(guān)系求得a和c的關(guān)系，求得離心率e．

解答：解：∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁⊥PF₂
∴|

PF1

| 2+|

PF2

| 2=4c2
∴|

PF1

|•|

PF2

|=-

(| PF1 |-| PF2 |) 2-(| PF1 | 2+| PF2 |) 2

2

=

4c2-4a2

2

=3ab
整理求得b=

3

2

a，
∵a²+b²=c²，
∴

9a2

4

+a²=c²，
∴e=

13

2

故答案為：

13

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和運(yùn)算的能力．