Question

（2013•湖南）已知F₁，F₂分別是橢圓E：

x2

5

+y2=1的左、右焦點F₁，F₂關于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F₂的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b．當ab最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意可知：F₁（-2，0），F₂（2，0），可得⊙C的半徑為2，圓心為原點O關于直線x+y-2=0的對稱點．設圓心的坐標為（m，n）．利用線段的垂直平行的性質可得

n m =1 m 2 + n 2 -2=0

，解出即可得到圓的方程；
（II））由題意，可設直線l的方程為x=my+2，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d=

|2m|

1+m2

，再利用弦長公式即可得到b=2

r2-d2

．把直線l的方程為x=my+2與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得到a，進而得到ab，利用基本不等式的性質即可得出結論．

解答：解：（I）由題意可知：F₁（-2，0），F₂（2，0）．故⊙C的半徑為2，圓心為原點O關于直線x+y-2=0的對稱點．設圓心的坐標為（m，n）．則

n m =1 m 2 + n 2 -2=0

，解得

m=2 n=2

．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-2）²=4；
（II）由題意，可設直線l的方程為x=my+2，則圓心到直線l的距離d=

|2m|

1+m2

，
∴b=2

22-d2

=

4

1+m2

．
由

x=my+2 x2+5y2=5

得（5+m²）y²+4my-1=0．
設l與E的兩個交點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則y1+y2=-

4m

5+m2

，y1y2=

-1

5+m2

．
∴a=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 16m2 (5+m2)2 + 4 m2+5 ]

=

2 5 (m2+1)

m2+5

，
∴ab=

8 5 m2+1

m2+5

=

8 5

m2+1 + 4 m2+1

≤

8 5

2 m2+1 • 4 m2+1

=2

5

．
當且僅當

m2+1

=

4

m2+1

，即m=±

3

時等號成立．
故當m=±

3

時，ab最大，此時，直線l的方程為x=±

3

y+2，即x±

3

y-2=0．

點評：本題綜合考查了圓與橢圓的標準方程及其性質、軸對稱的性質、圓的弦長公式b=2

r2-d2

、直線與橢圓相交的弦長公式a=

(1+ 1 k2 )

|y1-y2|、基本不等式的性質等基礎知識與方法，需要較強的推理能力、計算能力、分析問題和解決問題的能力．．