Question

（本小題滿分12分）
如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓與橢圓相似，且橢圓的一個短軸端點是拋物線的焦點.
（Ⅰ）試求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線與橢圓交于兩點，且與橢圓交于兩點.若線段與線段的中點重合，試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓？并證明你的判斷.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）橢圓與橢圓是相似橢圓. 證明見解析。

試題分析：（Ⅰ）橢圓的離心率為， 拋物線的焦點為. 
設橢圓的方程為，由題意，得：　，解得，
∴橢圓的標準方程為 .                        ………………………………4分
（Ⅱ）解法一：橢圓與橢圓是相似橢圓.                 ………………………………5分
聯立和的方程，，消去，得，   ……6分
設的橫坐標分別為，則.  
設橢圓的方程為，      …………………………………7分
聯立方程組，消去，得,
設的橫坐標分別為，則. 
∵弦的中點與弦的中點重合，∴，，
∵，∴化簡得， ……………………………10分
求得橢圓的離心率，    ………………………12分
∴橢圓與橢圓是相似橢圓.
解法二：（參照解法1評分）
設橢圓的方程為，.
∵在橢圓上，∴且，兩式相減并恒等變形得. 
由在橢圓上，仿前述方法可得.
∵弦的中點與弦的中點重合，
∴，求得橢圓的離心率， 即橢圓與橢圓是相似橢圓.
點評：綜合題，判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓，主要是要把握好“如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似”這一定義，“點差法”是常用方法．