Question

(本小題滿分13分) 設橢圓E中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為4,點M（2，）在橢圓上，。
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線L交橢圓E于A、B兩點，且，求△OAB的面積的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）S。

試題分析：（1）因為橢圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b=4
故可求得b=2,a=2  橢圓E的方程為      ……2分
（2）設A（x1,y1）,B（x2,y2），當直線L斜率存在時設方程為，
解方程組得,即,
則△=,
即（*）……………………4分
,要使,需使,即,
所以, 即   ①………………………7分
將它代入（*）式可得……………………………8分
P到L的距離為
又
將及韋達定理代入可得……………………10分
當時
由 故……………12分
當時,
當AB的斜率不存在時,  ,
綜上S……………………………13分
點評：求橢圓的標準方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，常常運用韋達定理，本題屬于中檔題。