Question

（本題滿分14分）
已知橢圓過點，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.  
證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.

Answer 1

（1）； （2）

試題分析：（1）由題意可知，， …………1分  而，……………2分
且.  …………3分       解得，……………4分
所以，橢圓的方程為.    ……………5分
（2）由題可得.設，   ……………6分
直線的方程為，    ……………7分
令，則，即； ……………8分
直線的方程為，   ……………9分
令，則，即； ……………10分
證法1：設點在以線段為直徑的圓上，則，
即，         …………11分
，而，即，，或.                               ……………13分
故以線段為直徑的圓必過軸上的定點
、.                                  ……………14分
證法2：以線段為直徑的圓為
即          ………11分
令，得，    ……………12分
而，即，，或 
……………13分
故以線段為直徑的圓必過軸上的定點
、.                          ……………14分
證法3：令，則，令，得，同理得.
∴以為直徑的圓為，令解得 
∴圓過                          ……………11分
由前，對任意點,可得,  
∴∴在以為直徑的圓上.
同理，可知也在為直徑的圓上.                   ……………13分
∴故以線段為直徑的圓必過軸上的定點
、.                  …………………14分
點評：此題的第二問給出了三種方法來解答，我們要熟練掌握每一種方法。這是作圓錐曲線有關問題的基礎。屬于中檔題。