Question

【題目】設分別是橢圓的左、右焦點，已知橢圓的長軸為是橢圓上一動點，的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于兩點，為橢圓上一點，為坐標原點，且滿足，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）橢圓的長軸為可以直接求出，設出點的坐標，根據平面向量數量積的坐標表示公式，結合的最大值為進行求解即可；

（2）設出直線的點斜式方程，將直線方程與橢圓方程聯立，設出兩點坐標，再設出的坐標，利用平面向量加法、平面向量共線的坐標表示公式，結合一元二次方程根與系數關系求出點坐標，把點的坐標代入橢圓方程中，根據的取值范圍，可以求出直線的斜率的取值范圍，結合兩點間距離公式求出的表達式，根據直線的斜率的取值范圍，結合換元法、配方法進行求解即可.

（1）因為橢圓的長軸為所以，設的坐標為：，所以有

，兩焦點坐標為：，因此

，所以

，

顯然當時，有最大值，最大值為，因此橢圓方程為：；

（2）設直線的方程為：，因為，所以，將該直線方程與橢圓方程聯立得：，設，所以有，因此，設，

因為，所以有，

，把點坐標代入橢圓方程中，得

，化簡得：，而，所以有

.

即，

顯然有，所以.

令，

因此，因為，所以，所以當，的最大值為；當時，，所以的取值范圍為.