Question

【題目】對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點作如下定義：若，那么稱點是點的“上位點”同時點是點的“下位點”

（1）試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；

（2）已知點是點的“上位點”，判斷是否一定存在點滿足既是點的“上位點”，又是點的“下位點”若存在，寫出一個點坐標，并證明：若不存在，則說明理由；

（3）設正整數滿足以下條件：對集合，總存在，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求正整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，；（3）201.

【解析】

（1）根據新定義，即可求解；

（2）根據不等量的關系，滿足條件的點存在；

（3）將“下位點”， “上位點”轉化為不等量關系，利用（2）結論，即可求解.

（1），根據上下位的定義可得，

點的一個“上位點”（3,4），一個 “下位點”（3,6）；

（2）已知點是點的“上位點”，則有，

，

同理可得，所以存在既是點的“上位點”，

又是點的“下位點”；

（3）點既是點的“下位點”，

又是點的“上位點”，則有，

在恒成立，由（2）中的結論可得：

時，滿足條件；

若時，則不成立；

故是最小值為201.