Question

【題目】已知函數，函數為函數的反函數．

（1）求函數的解析式；

（2）若方程恰有一個實根，求實數的取值范圍；

（3）設，若對任意，當時，滿足，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1)令求解即可.

(2)化簡等式得,再分情況討論即可.

(3)根據分析的單調性與最值,利用二次函數的取值范圍求解即可.

解：（1）因為為函數的反函數,

故,

得,

所以；

（2）由得；

當時,,經檢驗,滿足題意；

當時,,經檢驗,滿足題意；

當且時,,,,

若是原方程的解,當且僅當,即,

若是原方程的解,當且僅當,即,

于是滿足題意的．

綜上,的取值范圍為．

（3）不妨令,則,

即函數在上為減函數；

,,

因為當,滿足,

故只需,

即對任意成立．

因為,所以函數在上單調遞增,

時,有最小值,

由,得,

故的取值范圍為．